Мой партнёр общается с бывшей женщиной. Нормально ли это?

Познакомилась с мужчиной, встречались больше года. Я знала, что до этого у него была гражданская жена, они жили вместе 6 лет, он привязался к ее детям. Общению с ними я не препятствовала, на каток сходить, деньги подарить - пожалуйста. Но в марте месяце он пошел на день рождение к этим девочкам (блезняшки 16 лет) и завис на кухне со своей бывшей до 5 утра. С того дня все пошло наперекосяк. Она стала звонить, писать, статусы с намеком выкладывать, он весь дерганый стал, холодной, оградился стеной. Так продолжалось месяц. Однажды я спросила его прямо - нужна ли я ему? Он сказал, что сам себя не понимает. В итоге на утро я собрала вещи и ушла. Написала записку, что мне тяжело оставаться в таких отношениях. А она на следующий день уже спал со своей бывшей, сам в этом признался, когда позвонил через несколько дней, чтобы ключи забрать. В итоге они жили вместе месяц. А через месяц он попросился обратно. Ушел от нее, пока она была в командировке и начал снова писать, звонить мне. Что сказать, я простила... Единственным моим условием было - ты обрываешь эту связь и эта женщина больше никогда не появляется в его жизни. Он ответил, что это и так понятно. Но прошло 3 месяца, она его разблокировала, он начал смотреть ее статусы, опять весь дерганый стал. Потом у нее случилась какая-то проблема, он стал звонить-помогать. Ну а потом у него др, она поздравила. Потом у нее др, он поздравил... Про обещание никто не вспомнил. Меня терять он хочет, говорит, что определился и любит только меня одну, но писать и поздравлять эту женщину с праздниками он не перестанет, мол это "по-человечески" правильно. Там дети, которые выросли на его глазах. Но с детьми он не общается, говорит, что они не хотят этого. Получается пишет только этой женщине и выставляет это, как нечто нормальное. У меня вопрос - это и в самом деле нормально???