Елена., научить ребёнка эмпатии, на мой взгляд, возможно, двигаясь в двух направлениях:
1) обращать его внимание на ситуации, когда ему грустно, печально, больно - фиксировать, проговаривать его чувства, поскольку сам ребёнок не в силах различать собственные эмоции и нуждается в отражении со стороны взрослых, в том, чтобы его научили понимать, что то или иное его душевное состояние называется именно так. Что когда не разрешили поиграть - это злит и обидно, когда упал и стукнулся - больно, когда в мультике или сказке случилось что-то неприятеле с главным хорошим героем - это грустно или страшно.
Если у сына появится ясное понимание, каково это - переживать ту или иную эмоцию, вам будет легче достучаться до него с тем, чтобы он был способен почувствовать чью-то боль. При этом, проявляя к нему сочувствие, утешая его и просто находясь рядом с ним, когда ему плохо, Вы показываете образец того, как по Вашему мнению стоит вести себя близкому человеку по отношению к тому, кто нуждается в поддержке. Имея такую опору и систему координат, говоря вслух, к примеру "в нашей семье жалеют тех, кто устал и кому плохо", Вы имеете шанс закрепить у Егора правильное поведение. Вы пишете, что муж проявляет заботу о Вас. В этот момент он или Вы сами можете привлечь к этому внимание сына словами: "когда мама устала и ей трудно что-то делать, папа всегда о ней заботится, потому что ему хочется, чтобы мама отдохнула, чтобы ей стало получше. В нашей семье всегда заботятся о том, кто много работал и устал, его жалеют и стараются что-то сделать для него".
2) Ещё бывает важно обращать внимание не только на переживания самого ребёнка или близких людей, но и на чувства и эмоции тех, кто окружает в обычной жизни, а также фиксировать внимание на эмоциях персонажей в сказках, которые ребёнок слушает (читает) или смотрит в фильмах/мультиках. Из того, что я поняла из Вашего рассказа, у Егора много природной настойчивости и стремления найти способ получить желаемое - согласитесь, хорошее мужское качество, признак возможного лидерства. А вот черт мягкости, эмоциональности как будто не достаёт, во всяком случае, Вам бы хотелось их в нем развить. С учётом, что мальчик по своим склонностям технически ориентирован (платы), предположу, что его развитие идёт в бОльшей степени по рациональному, левополушарному, логическому пути. И это неплохо. Но чтобы не пострадала правополушарная область, сфера эмоций, возможно, к этому имеет смысл проявлять больше внимания, побуждать к переживаниям и осознанию их в себе. Инструменты - как я сказала выше - разговоры об эмоциях и чувствах, чтение книг с обсуждением чувств героев, их морально-нравственных позиций (а как бы ты поступил на его месте? Как думаешь, плохо это или хорошо? А как себя будет чувствовать другой герой сказки, если этот поступит так-то? А какие ещё могли бы быть варианты, чтобы всем было хорошо?)
Насчёт бабушки и описанной Вами проблемы мне сложно сказать, мало информации, в основном, Ваше восприятие. На мой взгляд, не менее важна реакция самой бабушки и их сложившиеся модели взаимоотношений с Егором.